Números naturais. Definição e regras

Qual é a definição de um número natural? Quais são alguns exemplos de números naturais? Zero é natural?

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1. Números naturais. Definição

Os números naturais são inteiros positivos, ou seja - 1, 2, 3, 4, 5 ... Às vezes, o número zero também está incluído nos números naturais. Portanto, o autor de um livro de matemática deve sempre determinar se considera o número zero natural ou não.

Denotamos o conjunto de números naturais com a letra N. Freqüentemente, podemos encontrar a notação N +, que significa o conjunto de números naturais positivos, ou seja, sem zero.

N é infinito, o que significa que o maior número natural não existe.

2. Números naturais. As regras

Os números naturais são usados ​​para cardinalidade e ordenação. As duas funções dos números naturais podem ser descritas assim:

  • quantos elementos estão em um determinado conjunto;
  • qual elemento é fornecido na string.

Em outras palavras, os números naturais são números que as pessoas usam para quantificar ou ordenar coisas. No mundo real, quantidades negativas não existem porque se houver algo, pode ser reescrito quantidade ou sequência. Portanto, não há números negativos no conjunto de números naturais.

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3. O zero é natural?

Os matemáticos ainda estão discutindo se o número 0 pode ser incluído no conjunto dos números naturais.

Às vezes é conveniente definir números naturais com zero e outras vezes sem zero. Portanto, ambas as abordagens são aceitáveis.

Se quisermos indicar que existe 0 entre os números considerados, usamos a notação N∪ {0}. No entanto, se quisermos indicar que não incluímos 0 no conjunto dos números naturais, usamos a notação N + ou N {0}.

4. Axiomas de Peano

Embora o homem use os números naturais quase desde o início da civilização, levou muito tempo para os matemáticos desenvolverem uma definição estrita do conjunto dos números naturais.

O conjunto dos números naturais é definido pelos termos propostos por Giuseppe Peano (1858-1932), matemático e lógico italiano. Eles foram chamados de axiomas ou postulados de Peano. Aqui estão suas principais suposições:

  • Existe um número natural 0;
  • Cada número natural tem um consequente;
  • 0 não é um sucessor de nenhum número natural;
  • Números naturais diferentes têm sucessores diferentes;
  • Se 0 tem a propriedade dada e o sucessor de qualquer número natural tem essa propriedade, então todo número natural tem essa propriedade.

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5. Números naturais. Operações matemáticas

Podemos adicionar e multiplicar números naturais. O resultado dessas ações sempre será um número natural. Um número natural elevado à potência de um expoente natural também será um número natural.

É diferente no caso de subtrair, dividir e extrair raízes de números naturais.

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6. Números naturais. A que coleções eles pertencem?

Os números naturais pertencem ao conjunto de inteiros.

Os números inteiros são uma extensão dos números naturais. Ao conjunto desses números, somamos todos os seus números negativos, ou seja, aqueles com menos e zero. Aqui está um exemplo de inteiros: ...− 6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ...

Denotamos o conjunto de inteiros com o símbolo Z. O conjunto de inteiros positivos é o conjunto de números naturais.

Por sua vez, os inteiros fazem parte de um subconjunto de números reais, denotados pelo símbolo R. Exemplo de um conjunto de números reais:

0, 1, −3, 56, 2–√, π

Os números reais podem ser divididos em racionais e irracionais.

  • Número irracional - este é um número que não pode ser escrito como uma fração regular. Exemplo de um número irracional: 2 - √, 3 - √, 5 - √;

  • Racional - um número que pode ser escrito como uma fração. Denotamos o conjunto de números racionais com o símbolo Q.

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